【牛津通识读本:数学】读书笔记

牛津通识读本:数学

牛津通识读本:数学

序言

他的一个基本的观点:对于数学,不要问它是什么,而只要问它能做什么。

这一抽象化的思考方法,将重点放在数学内部体系的相容性,强调新的数学概念、方法与内容和已有的数学体系应自然地融为一体,强调要将有关的数学内容脱离其物理上的实在、变为符合一些特定规则的记号,就会更利于应用,更利于正确地理解高等的数学。

第一章 模型

还有一种远为明智的办法:首先决定你需要达到什么样的精确度,然后用尽可能简单的办法达到它1

最简单的办法就是假设分子都遵从这样的运动规则,分子之间绝对没有相互作用2

麦克斯韦的成就之一就是发现了一个优美的理论,来解决如何更逼真地选择初始速率的问题3

说数学是一个抽象的领域,这包含两层含义:一来它从问题中抽象出重要特征,二来它所处理的对象不是具体的、有形的。

数与抽象

自然数

数的概念与加法、乘法这样的算术运算紧密相连。

考虑规则,而不是考虑数字本身。

  • A1 加法交换律:对任意两个数 $a$ 和 $b$,有 $~a+b=b+a$。
  • A2 加法结合律:对任意三个数 $a$、$b$ 和 $c$,有 $a+(b+c)=(a+b)+c$。
  • M1 乘法交换律:对任意两个数 $a$ 和 $b$,有 $ab=ba$。
  • M2 乘法结合律:对任意三个数 $a$、$b$ 和 $c$,有 $a(bc)=(ab)c$。
  • M3 $1$ 是乘法单位元:对任意数 $a$,有 $1a=a$。
  • D 分配律:对任意三个数 $a$、$b$ 和 $c$,有 $(a+b)c=ac+bc$。

但从抽象的观点来看,$0$ 其实很明确:它只不过是引入到我们数系中的一个新记号而已,并且满足下面这条特殊的性质。

  • A3 $0$ 是加法单位元:对任意数 $a$,有 $0+a=a$。

负数和分数

只需再增加两条规则来扩充我们的数系:一条给我们带来负数,另一条给我们带来分数,即我们所熟知的有理数。

  • A4 加法逆元:对任意数 $a$,总存在一个数 $b$ 使得 $a+b=0$。

  • M4 乘法逆元:对任意不为 $0$ 的数 $a$,总存在一个数 $c$使得 $ac=1$。

规则 A4 和 M4 还蕴含了另外两条规则,即消去法则。

  • A5 加法消去律:对任意三个数 $a$、$b$ 和 $c$,若 $a+b=a+c$,则 $b=c$。

  • M5 乘法消去律:对任意三个数 $a$ 、$b$ 和 $c$,若 $ab=ac$ 且 $a$ 不为 $0$,则 $b=c$。

实数和复数

复数作为最佳的例证之一,向我们表明了一条概括性的原则:一种抽象的数学构造若是充分自然的,则基本上必能作为模型找到它的用途。

把负数和分数放到指数上

在本例中4即需要忽视 $a^n$的内在意义,转而考虑关于它的规则。

关于指数的两条规则是:

  • E1 对任意实数 $a$,$a^1=a$。
  • E2 对任意实数 $a$ 和任意一对自然数 $m$、 $n$,有 $a^{m+n}=a^m×a^n$。

第三章 证明

根号2的无理性

公理系统的主要问题并不是公理的真实性,而是公理的自洽性和有用性。

黄金分割比的无理性

我们经常想从证明中得到更多的东西,而不仅仅是确信它的正确性。

三条看似显然实则需要证明的陈述

如果脑子里立刻就有证明,那么这条陈述才是显然的。

从 $P$ 出发画一条线,一直画到远离曲线的另一点 $Q$,也就是使 $Q$ 明显位于曲线外面。如果画的这条线和原曲线相交奇数次,那么 $P$ 位于曲线里面,否则位于曲线外面5

任意简单闭合曲线都有里面和外面这一命题,正是一个著名的数学定理,称作若尔当曲线定理

我们不要关注面积是什么,而是关注面积能够做什么。……我们应当关注,关于面积的任何合理概念所应具有的一些属性。

第五章 维度

高维几何又是一例最好从抽象角度来理解的概念。让我们不去担心二十六维空间的存在等等,而去考虑它的性质。

高维几何中的点是什么?

为什么二维几何适用于这个运动过程的模型化6呢?因为在这里有两个我们关心的数——流逝的时间和走过的距离——如我所说过的,我们可以将二维空间看作所有成对的数的集合。

这就提示了我们,为什么高维几何会有用处。宇宙中可能并没有潜藏着高维空间,但需要同时考虑好几个数的情形却有不少。

分数维

科赫雪花的“拓扑维数”是1。粗略地讲,这是因为它像直线段一样,删掉内部任何一个点后就分解成为两个不相连的部分。

第六章 几何

欧几里得几何

下面是欧几里得的公理:

  1. 任意两点有且只有一条直线段相连
  2. 任意直线段可以两端延伸形成一条直线,且只能形成一条直线。
  3. 给定任意一点 $p$ 及任意长度 $r$,存在以 $r$ 为半径,$p$ 为圆心的原。
  4. 任意两个直角相等。
  5. 直线 $N$ 与两条直线 $L$ 和 $M$ 相交,若 $N$ 的同旁内角之和小于两内角,则 $L$ 和 $M$ 相交于 $N$ 这一侧。

第五条公理与所谓的“平行公设”是等价的。平行公设断言,给定任意直线 $L$ 和直线外一点 $x$,有且只有一条直线 $M$ 经过 $x$ 且永远不与 $L$ 相交。

球面几何

要重新解释直线是什么意思,从而使球面上的确可以包含直线7

一种自然的定义的:一条线段就是完全位于球面内的从 $x$ 到 $y$ 的最短路径。

双曲几何

理解圆盘模型比理解球面几何要复杂,不光要重新解释“直线”和“直线段”等词语,还要重新解释距离这个观念。

这种扭曲8会产生一个众所周知的效应,地球表面上两点间最短路线在地图上就显示成了弯的。

数学概念的实在性更多地与它做什么而不是与它是什么相关。

空间何以能够弯曲?

于是,从曲面内部说明二维曲面弯曲的一种方法,就是找出内角和不为 180 度的三角形,而且这种办法也是可以在三维中尝试的。

负性弯曲的证据就会是,三角形内角和小于 180 度,沿相同方向的直线会发散,或者是半径为 $r$ 的圆的周长大于 $2πr$。这类行为在双曲圆盘上会发生。

估计和近似

近似的方法

作类似于刚才的关于近似的论断时,明确什么才算是较好的近似很重要,因为标准会随着情景的不同而变化。如果想用一条能够简单定义的序列 $b_1,b_2,b_3,\dots$ 来近似一条稳定增大的序列 $a_1,a_2,a_3,\dots$,那么我们所能期待的最优近似——实则很少能够达到,就是每一对 $a_n$ 和 $b_n$ 的差距都小于一定值——诸如 1000。那么随着 $a_n$ 和 $b_n$ 增大,它们的比值会非常接近于 1。

一类较优的近似是,随着 $n$ 的增大, $a_n$ 和 $b_n$ 的比值变得非常接近 1。当 $b_n$ 和 $b_n$ 相差常数以内相等时,这种情况是成立的,但它在其他一些情况下也会成立。

常见的一种方法是,如果 $a_n$ 和 $b_n$ “相差常数倍以内相等”,就视之为近似相等9

如果连这样程度的近似都是奢求,那也常常值得去找出两条参考序列 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 和 $c_1,c_2,c_3,\dots$,并证明 $b_n$ 总小于 $a_n$,而 $c_n$ 总大于 $a_n$。那么我们可以说 $b_n$ 是 $a_n$ 的“下界”,$c_n$ 是 $a_n$ 的“上界”。

关于对数、平方根等你只需要知道这些

从近似的观点看它们其实极为简单:一个数的对数10基本上就是它所包含的位数。

一个数的自然对数,即在计算器上按 LN 键得到的数,大体上是它的位数乘以 2.3 上下。

素数定理

素数定理陈述的是,在数 $n$ 附近的素数密度约为 $1/log_en$,即 1 除以 $n$ 的自然对数。

常见问题

1. 数学家在30岁以后就不比当年了,这是真的吗?

费马大定理(即对任意正整数 $x$,$y$,$z$ 及大于 2 的正整数 $n$,$x^n+y^n$ 不可能等于 $z^n$)

2. 为什么女性数学家很少见?

可信的一种理由是社会方面的因素:当男孩子为数学能力感到骄傲时,可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。

比起其他学科来,数学需要一个人更加专注。

4. 为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学?

习数学时的步步跟进不仅仅是保持技术熟练度而已。数学中常常会引入重要的新思想,新思想会比旧思想更加复杂,每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面。

6. 数学研究何以可能进行?

一种生成问题的好办法是去找一种很难精确分析的数学现象,然后努力对它作一些近似的陈述。

另一种办法:选一种较难的数学概念,诸如四维流形,然后你通常就会发现,关于这些概念,即便很简单的问题也非常难解答。


  1. 计算扔石头的问题 ↩︎
  2. 过渡简化的气体模型 ↩︎
  3. 气体模型中分子初始速率 ↩︎
  4. $2^{3/2}$ 不能像 $2^5$ 那样用 5 个 2 相乘的方式来表达 ↩︎
  5. Even-odd rule ↩︎
  6. 用曲线图来表示物体的运动 ↩︎
  7. 用抽象的方法来绕过球面上没有常规意义上的直线的难题 ↩︎
  8. 三维地球投影到二维平面导致的距离扭曲 ↩︎
  9. 更弱的近似方法 ↩︎
  10. 指以10为底的对数 ↩︎

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